56. ročník matematickej olympiády 2006-2007
| C | B | A |
| domáce kolo | domáce kolo | domáce kolo |
| školské kolo | školské kolo | školské kolo |
| krajské kolo | krajské kolo | krajské kolo |
| celoštátne kolo | ||
C-I-1
Určte všetky dvojice (a, b) prirodzených čísel, pre ktoré platí 
.
C-I-2
Nájdite všetky trojuholníky, ktoré sa dajú rozrezať na lichobežníky s dĺžkami strán 1 cm, 1 cm, 1 cm a 2 cm.
C-I-3
Nájdite všetky prirodzené čísla, ktorých zápis neobsahuje nulu a má nasledovnú vlastnosť:
● ak
v ňom vynecháme ľubovoľnú číslicu, dostaneme číslo, ktoré je deliteľom pôvodného čísla.
C-I-4
Je daný lichobežník ABCD so základňami AB a CD. Označme E stred strany AB, F stred úsečky DE a G priesečník úsečiek BD a CE. Vyjadrite obsah lichobežníka ABCD pomocou jeho výšky
v a dĺžky d úsečky FG za predpokladu, že body A, F, C ležia na jednej priamke.
C-I-5
Zistite, pre ktoré prirodzené číslo n je podiel
a) čo najväčšie prirodzené číslo,
b) čo najmenšie prirodzené číslo.
C-I-6
Je daný ostrouhlý trojuholník ABC, v ktorom D je päta výšky z vrcholu C a V priesečník výšok. Dokážte, že |AD|.|BD| = |AB|.|VD| práve vtedy, keď |CD| = |AB|.
| ▲ hore ▲ |
C-S-1
Určte počet všetkých štvorciferných prirodzených čísel, ktoré sú deliteľné šiestimi a v ich zápise sa vyskytujú práve dve jednotky.
C-S-2
Kružnica k so stredom S je opísaná pravidelnému šesťuholníku ABCDEF. Dotyčnica v bode A ku kružnici k pretína priamku SB v bode K a dotyčnica v bode B pretína priamku SC v bode L. Dokážte, že štvoruholníku KLCB sa dá opísať kružnica, ktorá je zhodná s kružnicou k.
C-S-3
Určte všetky dvojice (a, b) prirodzených čísel, ktorých rozdiel a - b je piatou mocninou niektorého prvočísla a pre ktoré platí 
.
| ▲ hore ▲ |
C-II-1
V rovine sú dané dva rôzne body L, M a kružnica k. Zostrojte trojuholník ABC s čo najväčším obsahom tak, aby jeho vrchol C ležal na kružnici k, bod L bol stredom strany AC a bod M stredom strany BC.
C-II-2
Nech p, q, r sú prirodzené čísla, pre ktoré platí 
.
a)Určte,akéhodnotymôženadobúdaťsúčet p+q +r.
b)Určtepočetvšetkýchusporiadanýchtrojíc (p,q,r) prirodzenýchčísel,ktoré
vyhovujúdanejrovnici.
C-II-3
Rovnoramennému lichobežníku ABCD so základňami AB, CD sa dá vpísať kružnica so stredom O. Určte obsah S lichobežníka, ak sú dané dĺžky úsečiek OB a OC.
C-II-4
Určte najväčšie dvojciferné číslo k s nasledujúcou vlastnosťou:
existuje prirodzené číslo N, z ktorého po škrtnutí prvej číslice zľava dostaneme číslo k-krát menšie. (Po škrtnutí číslice môže zápis čísla začínať jednou či niekoľkými nulami.) K určenému číslu k potom nájdite najmenšie vyhovujúce číslo N.
| ▲ hore ▲ |
B-I-1
Nájdite všetky dvojice (a, b) celých čísel, ktoré vyhovujú rovnici
a2 + 7ab + 6b2 + 5a + 4b + 3 = 0.
B-I-2
Je daná kružnica k s priemerom AB. K ľubovoľnému bodu Y kružnice k, Y ≠ A, zostrojme na polpriamke AY bod X, pre ktorý platí |AX| = |YB|. Určte množinu všetkých takých bodov X.
B-I-3
Nájdite najmenšie prirodzené číslo k také, že každá k-prvková množina trojmiestnych po dvoch nesúdeliteľných čísel obsahuje aspoň jedno prvočíslo.
B-I-4
V ľubovoľnom trojuholníku ABC označme T ťažisko, D stred strany AC a E stred strany BC. Nájdite všetky pravouhlé trojuholníky ABC s preponou AB, pre ktoré je štvoruholník CDTE dotyčnicový.
B-I-5
Nájdite všetky dvojice (p, q) reálnych čísel také, že polynóm x2 + px + q je deliteľom polynómu
x4 + px2 + q.
B-I-6
Je daná úsečka AA0 a priamka p. Zostrojte trojuholník s vrcholom A a výškou AA0, ktorého ťažisko a stred opísanej kružnice ležia na priamke p.
| ▲ hore ▲ |
B-S-1
Určte vštky dvojice reálnych čísel a, b, pre ktoré je polynóm x4 + ax2 + b deliteľný polynómom x2 + bx + a.
B-S-2
V trojuholníku ABC označme D stred strany BC, E stred strany AC a T ťažisko. Dokážte, že ak je strana BC dlhšia ako strana AC, má kružnica vpísaná trojuholníku BDT menší polomer ako kružnica vpísaná trojuholníku ATE.
B-S-3
Nájdite najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré je podiel 
prirodzené číslo.
| ▲ hore ▲ |
B-II-1
Určte reálne čísla a, b, c tak, aby polynóm x4 + ax2 + bx + c bol deliteľný polynómom x2 + x + 1 a pritom súčet a2 + b2 + c2 bol čo najmenší.
B-II-2
Daný je trojuholník ABC so stranou BC dĺžky 22 cm a stranou AC dĺžky 19 cm, ktorého ťažnice ta, tb sú navzájom kolmé. Vypočítajte dĺžku strany AB.
B-II-3
Prirodzené číslo nazveme vlnitým, ak pre každé tri po sebe idúce číslice a, b, c jeho dekadického zápisu platí (a - b)(b - c) < 0. Dokážte, že z číslic 0, 1, ..., 9 je možné zostaviť viac ako 25 000 desaciťciferných vlnitých čísel, z ktorých každé obsahuje všetky číslice od nuly po deviatku (číslica 0 nesmie byť na prvom mieste).
B-II-4
Je daný ostrouhlý trojuholník ABC. Pre ľubovoľný bod L jeho strany AB označme K, M päty kolmíc z bodu L na strany AC, BC. Zistite, pre ktorú polohu bodu L je úsečka KM najkratšia.
| ▲ hore ▲ |
A-I-1
V obore reálnych čísel vyriešte rovnicu
4x4 - 12x3 - 7x2 + 22x + 14 = 0,
ak viete, že má štyri rôzne reálne korene, pričom súčet dvoch z nich je 1.
A-I-2
Kružnica vpísaná danému trojuholníku ABC sa dotýka strán BC, CA, AB postupne v bodoch K, L, M. Označme P priesečník osi vnútorného uhla pri vrchole C s priamkou MK. Dokážte, že priamky AP a LK sú rovnobežné.
A-I-3
Ak sú x, y, z reálne čísla z intervalu <-1, 1> vyhovujúce podmienke xy + yz + zx = 1, potom platí
Dokážte a zistite, kedy nastane rovnosť.
A-I-4
Zistite, pre ktoré prirodzené čísla n je možné množinu M = {1, 2, ... ,n} rozdeliť
a) na dve,
b) na tri
navzájom disjunktné podmnožiny s rovnakým počtom prvkov tak, aby každá z nich obsahovala aj aritmetický priemer všetkých svojich prvkov.
A-I-5
V rovine je daná kružnica k so stredom S a bod A ≠ S. Určte množinu stredov kružníc opísaných všetkým trojuholníkom ABC, ktorých strana BC je priemerom kružnice k.
A-I-6
Určte všetky funkcie f : Z → Z také, že pre všetky celé čísla x, y platí f (f(x) + y) = x + f(y + 2006).
| ▲ hore ▲ |
A-S-1
Určte všetky reálne čísla s, pre ktoré má rovnica
4x4 - 20x3 + sx2 + 22x- 2 = 0
štyri rôzne reálne korene, pričom súčin dvoch z nich je rovný číslu -2.
A-S-2
Uvažujme množinu {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160} a všetky jej trojprvkové podmnožiny. Rozhodnite, či je viac tých, ktoré majú súčin svojich prvkov väčší ako 2006, alebo tých, ktoré majú súčin svojich prvkov menší ako 2006.
A-S-3
Daný je lichobežník ABCD s pravým uhlom pri vrchole A a základňou AB, v ktorom platí |AB| > |CD| ≥ |DA|. Označme S priesečník osí jeho vnútorných uhlov pri vrcholoch A, B a T priesečník osí vnútorných uhlov pri vrcholoch C, D. Podobne označme U, V priesečníky osí vnútorných uhlov pri vrcholoch A, D, resp. B, C.
a) Dokážte, že priamky UV a AB sú rovnobežné.
b) Dokážte, že priesečník E polpriamky DT s priamkou AB a body S, T, B ležia na jednej kružnici.
| ▲ hore ▲ |
A-II-1
Zistite, aký je najmenší možný obsah trojuholníka ABC, ktorého výšky spĺňajú nerovnosti va ≥ 3 cm, vb ≥ 4 cm, vc ≥ 5 cm.
A-II-2
Nech a, b sú reálne čísla. Ak má rovnica
dva rôzne reálne korene také, že ich súčet sa rovná ich súčinu, tak platí a + b > 0 a pritom daná rovnica nemá žiadne iné reálne korene. Dokážte.
A-II-3
Nech M je ľubovoľný vnútorný bod prepony AB pravouhlého trojuholníka ABC. Označme S, S1, S2 stredy kružníc opísaných postupne trojuholníkom ABC, AMC, BMC.
a) Dokážte, že body M, C, S1, S2 a S ležia na jednej kružnici.
b) Pre ktorú polohu bodu M má táto kružnica najmenší polomer?
A-II-4
Nech p, q sú dané prirodzené čísla, pričom p < q. Určte najmenšie prirodzené číslo m s vlastnosťou: Súčet všetkých zlomkov v základnom tvare, ktoré majú menovateľa m a ktorých hodnoty ležia v otvorenom intervale (p, q), je aspoň 56(q2 - p2).
| ▲ hore ▲ |