Matematická súťažQuark
Pravideľná súťaž z matematiky je určená všetkým bez ohľadu na vek.
Za správne vyriešené úlohy môžete získať v každom kole až 20 bodov. Prémiu - cenu vydavateľstva Perfekt - získate, len čo budete mať aspoň 100 bodov (je jedno za koľko kôl). Potom môžete začať bojovať znovu s nulovým počtom bodov o ďalšiu prémiu. Vaše riešenia príkladov posielajte vždy do konca mesiaca, pre ktorý sú úlohy určené na adresu:
Redakcia Quark, Karpatská 7, 811 05 Bratislava
Na obálku nezabudnite pripísať heslo "Matematická súťaž" a číslo príslušného súťažného kola.
Rok  2006
Nové úlohy85. kolo (11/2006)
  1. Vypočítajte obsah kosoštvorca ABCD, pokiaľ viete, že polomery opísaných kružníc trojuholníkom ABC a ACD sú 12,5 a 25.
  2. Kráľovná má osem rôznych prsteňov, pričom päť z nich si chce zobrať na slávnosť. Týchto päť prsteňov si však môže dať iba na štyri prsty pravej ruky okrem palca, pričom na každý prst si môže dať ľubovoľný počet prsteňov (aj žiadny). Zistite, koľkými spôsobmi to môže spraviť, pokiaľ kráľovnej záleží na poradí prsteňov na každom prste.
  3. Nájdite (1 - sin t)(1 - cos t) pokiaľ viete, že (1 + sin t)(1 + cos t) = 5/4.
  4. Množina A pozostáva z m po sebe idúcich celých čísel so súčtom 2m a množina B pozostáva z 2m po sebe idúcich celých čísel so súčtom m. Nájdite m, pokiaľ viete, že rozdiel medzi najväčším prvkom v množine A a najväčším prvkom v množine B je 99.
Úlohy 84. kola (10/2006)
  1. Klada dreva má tvar valca s priemerom podstavy 12. Drevorubač urobil dva rovinné rezy, pričom prvý bol kolmý na os klady a druhý zvieral s osou uhol 45°. Navyše priamka, v ktorej sa roviny rezov pretínali, sa dotýkala klady v práve jednom bode. Zistite objem klina, ktorý odrezal drevorubač z klady.
  2. Uvažujme konvexný mnohosten s 26 vrcholmi, 60 hranami a 36 stenami, ktorého 24 stien sú trojuholníky a 12 stien sú štvoruholníky. Telesovou uhlopriečkou nazvime úsečku spájajúcu dva vrcholy, ktoré neležia v rovnakej stene. Koľko telesových uhlopriečok má náš mnohosten?
  3. Funkcia f spĺňa f(x) + f(x-1) = x2 pre všetky x. Nájdite zvyšok f(94) po delení 1000, pokiaľ viete že f(19) = 94.
  4. Koľko existuje usporiadaných dvojíc (a, b), pre ktoré má sústava rovníc ax + by = 1, x2 + y2 = 50 aspoň jedno riešenie a všetky riešenia sú celočíselné?
Úlohy 83. kola (9/2006)
  1. Bod P leží vo vnútri pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole B tak, že každú stranu je z bodu P vidieť pod uhlom 120°. Nájdite dĺžku |PC| pokiaľ viete, že |PB| = 6 a |PA| = 10.
  2. Nájdite najväčšie celé číslo n, pre ktoré existuje práve jedno celé číslo k tak, že 8/15 < n/(n+k) < 7/13.
  3. Nech p0(x) = x3 + 313x2 - 77x - 8 a pn(x) = pn-1(x - n). Aký je koeficient pri x v p20(x)?
  4. Z množiny {1, 2, 3, ..., 1000} vyberáme náhodne a bez vrátenia šesť čísel. Zostrojme dva kvádre, pričom prvý má dĺžky hrán rovné prvým trom zvoleným číslam a druhý má dĺžky hrán rovné druhým trom zvoleným číslam. Nájdite pravdepodobnosť, s ktorou sa dá prvý kváder umiestniť dovnútra druhého kvádra tak, že ich hrany sú rovnobežné.
Úlohy 82. kola (8/2006)
  1. Korene rovnice x3 + 3x2 + 4x - 11 = 0 sú a, b, c. Ak má rovnica x3 + rx2 + sx + t = 0 korene a + b,  b + c, c + a, aký musí byť koeficient t?
  2. Nech k je kladné celé číslo také, že 36 + k, 300 + k, 596 + k sú druhé mocniny troch za sebou idúcich členov aritmetickej postupnosti. Nájdite k.
  3. Cyril a Dano sú vzdialení od seba 100 m. Cyril beží smerom k Danovi rýchlosťou 8 m/s po priamke, ktorá zviera uhol 60° s priamkou spájajúcou Dana a Cyrila. Dano beží po priamke rýchlosťou 7 m/s tak, aby stretol Cyrila čo najskôr. Ako ďaleko musí Cyril bežať, aby sa stretol s Danom?
  4. Množina kladných čísel má trojuholníkovú vlastnosť, ak obsahuje tri prvky, ktoré sú stranami trojuholníka. Nájdite najväčšie také číslo n, že každá 10-prvková podmnožibna množiny {4, 5, 6, ..., n} má trojuholníkovú vlastnosť.
Úlohy 81. kola (7/2006)
  1. Nájdite najmenšie kladné celé číslo k, pre ktoré existuje viac ako jedna neklesajúca postupnosť kladných celých čísel a1, a2,a3, ..., v ktorej platí a9 = k a an+2 = an+1 + an.
  2. Deväť kariet označených číslami 1, 2, 3, ..., 9 bolo náhodne rozdaných medzi troch hráčov po troch kartách. Nájdite pravdepodobnosť, že každý hráč má karty s nepárnym súčtom.
  3. Označme S množinu všetkých racionálnych čísel, ktoré majú tvar 0,abcabcabcabc... (kde a, b, c sú nie nutne rôzne číslice). Pokiaľ všetky prvky množiny S prepíšeme do tvaru zlomkov r/s v základnom tvare, koľko rôznych hodnôt r použijeme?
  4. Body A a C ležia na kružnici so stredom O a polomerom √50. Vo vnútri kruhu leží bod B taký, že |< ABC| = 90°, |AB| = 6 a |BC| = 2. Nájdite vzdialenosť |OB|.
Úlohy 80. kola (6/2006)
  1. Nájdite súčin reálnych kladných riešení rovnice .
  2. Koľko zlomkov m/n napísaných v základnom tvare spĺňa súčasne rovnosť m.n = 20! a nerovnosť 0 < m/n < 1?
  3. Je daný pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole A a stranami dĺžky 90, 120 a 150. Rovnobežky s odvesnami, ktoré sa dotýkajú vpísanej kružnice trojuholníka ABC, odtínajú dva menšie trojuholníky. Nájdite vzdialenosť stredov vpísaných kružníc týchto trojuholníkov.
  4. Ráno bola na Orave teplota trikrát nižšia ako na obed. Ak by ráno bola teplota o 6 stupňov nižšia, bola by štyrikrát nižšia ako na obed. Aká teplota bola ráno na Orave?
Úlohy 79. kola (5/2006)
  1. Nájdite dve najmenšie kladné čísla také, pre ktoré platí, že sínus tohto čísla v stupňoch sa rovná sínusu toho istého čísla v radiánoch.
  2. V rovine je daný pravidelný dvanásťuholník. Zistite počet štvorcov ležiacich v tejto rovine, ktoré majú aspoň dva vrcholy totožné s vrcholmi dvanásťuholníka.
  3. Trojuholník ABC má veľkosti uhlov pri vrcholoch A a B postupne 60° a 45°. Dĺžka osi uhla pri vrchole A je 24. nájdite obsah trojuholníka ABC.
  4. Nájdite minimálnu hodnotu (9x2.sin2x + 4) / (x.sin x) pre 0 < x < p
Úlohy 78. kola (4/2006)
  1. Drevená kocka s hranou 1 cm je položená na stole (horizontálna rovina) a vo vzdialenosti x nad jedným z jej horných vrcholov je umiestnený bodový zdroj svetla. plocha tieňa (bez spodnej steny kocky), ktorý táto kocka vrhá, je 48 cm2. Nájdite vzdialenosť x.
  2. Je daná množina S = {1, 2, 3, 5, 8 13, 21, 34}. Nájdite súčet najväčších prvkov všetkých neprázdnych podmnožín množiny S.
  3. Riešeniami sústavy rovníc
    log225x + log64y = 4,  logx225 - logy64 = 1
    sú rôzne dvojice (x, y) = (x1, y1) a (x, y) = (x2, y2). Nájdite log30(x1y1x2y2).
  4. Nájdite najmenšie celé číslo, ktoré má práve 6 nepárnych a 12 párnych deliteľov.
Úlohy 77. kola (3/2006)
  1. V rovnobežníku ABCD je na polpriamke DA za bodom A daný bod P. Priamka PC pretína stranu AB v bode Q a uhlopriečku BD v bode R. Nájdite dĺžku úsečky RC pokiaľ viete, že |PQ|=735 a |QR|=112.
  2. Korene rovnice x3 + 3x2 + 4x - 11 = 0 sú a, b, c. Rovnica s koreňmi a + b, b + c, c + a má tvar x3 + rx2 + sx + t = 0. Nájdite t.
  3. Koľko existuje kladných celých čísel väčších ako 10, ktorých cifry v danom poradí tvoria striktne rastúcu postupnosť?
  4. V ktorom riadku Pascalovho trojuholníka existujú tri za sebou idúce binomické koeficienty, ktoré sú v pomere 3:4:5?
Úlohy 76. kola (2/2006)
  1. Koľko existuje reálnych čísel b takých, že rovnica x2 + bx + 6b má iba celočíselné riešenia?
  2. Nájdite najmenšie číslo n pokiaľ viete, že n je deliteľné 75 a má práve 75 deliteľov.
  3. Uvažujme trojuholník s dĺžkami strán 20, 21 a 22. Priamka rovnobežná s najkratšou stranou prechádzajúca stredom vpísanej kružnice tohto trojuholníka pretína zvyšné dve strany v bodoch X a Y. Nájdite dĺžku úsečky XY.
  4. Beáta má 25 rokov a Adam má d > 25 rokov. Za n rokov bude vek Beáty rovný veku Adama s prehodenými ciframi (teda ak napríklad Beáta bude mať 36 rokov, Adam bude mať 63). Zistite, koľko existuje usporiadaných dvojíc (n, d). Predpokladáme, že Adam ani Beáta sa nedožijú 100 rokov.
Úlohy 75. kola (1/2006)
  1. Uvažujme trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole B a stranami |AB| = 12, |AC| = 37. Označme AD os uhla pri vrchole A, pričom bod D leží na strane BC. Ďalej zvoľme na strane AB bod E a na strane AC bod F tak, že |AE| = 3 a |AF| = 10. Priamke EF pretína AD v bode G. Nájdite obsah štvoruholníka GDCF zaokrúhlený na celé číslo.
  2. Na volejbalovom turnaji sa zúčastnilo päť družstiev. Hralo sa systémom každý s každým a pravdepodobnosť výhry každého z dvoch hrajúcich družstiev bola 1/2. S akou pravdepodobnosťou neexistovalo po skončení turnaja družstvo, ktoré by prehralo alebo vyhralo všetky svoje zápasy?
  3. Nájdite najmenšie kladné celé číslo, ktoré sa dá napísať ako súčet deviatich, aj desiatich, aj jedenástich po sebe nasledujúcich kladných celých čísel.
  4. Dané sú reálne čísla xi pre i = 1, 2, ..., n, pre ktoré platí:-1 < xi < 1. Nájdite najmenšie n, pre ktoré je možné, že |x1| + |x2| + ... + |xn| = 19 + |x1 + x2 + ... + xn|.

Rok  2005
Úlohy 74. kola (12/2005)
  1. Nech ABCD je štvorec so stranou dĺžky 1. Na stranách AB, BC, CD, DA zvoľme postupne body A', B', C', D' tak, že |AA'|/|AB| = |BB'|/|BC| = |CC'|/|CD| = |DD'|/|DA| = 1/n. Prienik pásu medzi priamkami AC' a A'C a pásu medzi priamkami BD' a B'D je štvorec s obsahom 1/1201. Nájdite číslo n.
  2. Kladné celé čísla A, B, C, D spĺňajú A5 = B4 a C3 = D2. Navyše platí, že C = A + 19. Nájdite rozdiel D - B.
  3. Námorník robí kroky dĺžky 1. Navyše je opitý, takže spraví krok na sever, juh, východ alebo západ s rovnakou pravdepodobnosťou. Predpokladajme, že námorník stojí v počiatku súradnicovej sústavy, ktorej y-ová os smeruje na sever a x-ová na východ. Zistite, s akou pravdepodobnosťou sa námorník dostane do bodu (2, 2) na menej ako sedem krokov.
  4. Prirodzené čísla a, b, c tvoria rastúcu geometrickú postupnosť. Vieme, že b - a je druhou mocninou prirodzeného čísla a abc = 46656. Nájdite a + b + c.
Úlohy 73. kola (11/2005)
  1. Množina bodov (x, y), ktoré spĺňajú y2 + 2xy + 40|x| = 400 rozdeľuje rovinu na niekoľko častí. Nájdite obsah tých zo spomínaných častí, ktoré sú ohraničené.
  2. Pre konečnú postupnosť an platí a1 = 1000, a2 = p a an+2 = an - an+1 pre všetky n ? 1. Daná postupnosť končí, ak sa v nej vyskytne prvé záporné číslo. Nájdite prirodzené číslo p, pre ktoré je táto postupnosť najdlhšia.
  3. Slová zložené iba z písmen A a B sú elektronicky prenášané. Vieme, že každé písmeno bude prenesené s pravdepodobnosťou 1/3 ako to druhé (teda A príde namiesto B a naopak). Poslali sme elektronicky slovo AAA a slovo BBB. Zistite, s akou pravdepodobnosťou sa bude po elektronickom prenose prvé slovo nachádzať v slovníku (slová sú v bežnom abecednom poradí) pred druhým slovom po prenose.
  4. V danej polkružnici sú nakreslené tri rovnobežné tetivy s dĺžkami 2, 3, 4 a so stredovými uhlami postupne x, y, x + y. Nájdite cos x.
Úlohy 72. kola (10/2005)
  1. Koľko existuje slov dlhých na 7 písmen, ktoré sú zložené iba z písmen A, B,C (nie nevyhnutne všetkých troch), v ktorých navyše A nikdy nenasleduje hneď za B, B nikdy nenasleduje hneď za C, C nikdy nenasleduje hneď za A?
  2. Nech T je pravidelný štvorsten. Nech T* je štvorsten, ktorého vrcholy sú stredy stien štvorstena T. Nájdite pomer objemov štvorstenov T a T*.
  3. Postupnosť x1, x2, x3, ... je definovaná vzťahom xk = 1/(k2 + k). Pre ktoré m a n platí, že súčet po sebe nasledujúcich členov postupnosti xm + xm+1 + ... + xn = 1/29?
  4. Klasická kocka (na ktorej padne každé číslo s rovnakou pravdepodobnosťou) bola hodená štyri krát. Nájdite pravdepodobnosť, že každé číslo nebolo menšie ako predchádzajúce.
Úlohy 71. kola (9/2005)
  1. Nájdite najmenšiu honotu výrazu (x4 + x2 + 5) / (x2 + 1)2, kde x je reálne číslo.
  2. Je daný rovnoramenný trojuholník ABC so základňou BC a uhlom veľkosti 120° pri vrchole A. Priamka prechádzajúca bodom A a kolmá na jedno z ramien rozdeľuje trojuholník na dva menšie trojuholníky, z ktorých ten tupouhlý má vpísanú kružnicu s polomerom 1. Určite obsah trojuholníka ABC.
  3. Čísla 1, 2, ..., 8 sme rozdelili na dve množiny (nie nutne rovnako veľké) tak, že súčin čísel v prvej je deliteľný súčinom čísel v druhej množine. Nájdite najmenšiu hodnotu podielu prvého a druhého súčinu.
  4. Koľko existuje dvojíc celých čísel x, y medzi 1 a 1 000 takých, že x2 + y2 je deliteľné 49?
Úlohy 70. kola (8/2005)
  1. Celé číslo zapísané v desiatkovej sústave v tvare d1d2...dk sa nazýva hadie, pokiaľ jeho cifry spĺňajú nerovnosti di < di+1 pre nepárne i a di > di+1 pre párne i. Nájdite všetky hadie štvorciferné čísla, ktoré majú všetky cifry rôzne.
  2. Nájdite všetky čísla n, pre ktoré má daná sústava riešenie.
    log10sin x + log10cos x = -1,
    log10(sin x + cos x) = (log10n - 1)/2    .
  3. Nájdite najmenšie kladné kladné celé číslo n, pre ktoré rovnica [200/x] = n nemá celočíselné riešenie x. Symbol [x] označuje najväčšie celé číslo menšie ako x (dolnú celú časť x).
  4. Dve kružnice k1 a k2 s polomermi 3 a 6 majú vonkajší dotyk. Navyše sa obe zvnútra dotýkajú kružnice k3 s polomerom 9. Určite dĺžku tetivy kružnice k3, ktorá sa zvonku dotýka oboch kružníc k1 a k2.
Úlohy 69. kola (7/2005)
  1. Nech x a y sú kladné reálne čísla, pre ktoré platí 2.log (x - 2y) = log x - log y. Nájdite hodnotu x/y.
  2. Lichobežník ABCD má základne AB a CD s dĺžkami postupne 5 cm a 1 cm. Na strane AD je daný bod M a na strane BC je daný bod N tak, že MN je rovnobežná so stranou AB a obsah štvoruholníka ABMN je dvojnásobkom obsahu štvoruholníka CDMN. Nájdite dĺžku úsečky MN.
  3. Nájdite všetky kladné celé čísla n, pre ktoré platí, že súčet prvých n prirodzených čísel delí súčin prvých n prirodzených čísel.
  4. Koľko je deliteľov čísla 302005, ktoré nie sú deliteľmi čísla 202002?
Úlohy 68. kola (6/2005)
  1. Na škole s 2005 šudentmi sa ako cudzí jazyk vyučuje sanskrit a swahilčina, pričom každý študent musí študovať aspoň jeden z týchto jazykov. Ďalej vieme, že swahilčinu študuje 80 až 85% študentov a sanskrit 30 až 40%. Nájdite najmenší a najväčší možný počet študentov, ktorí študujú oba jazyky.
  2. Do kružnice k je vpísaný štvorec S (teda všetky vrcholy štvorca ležia na kružnici k. Zostrojme štvorec S´ rôzny od štvorca S, ktorého dva vrcholy ležia na kružnici a dva na jednej strane pôvodného štvorca S. Zistite pomer obsahov štvorcov S a S´.
  3. Koľko celých čísel tvaru 10i - 10j, kde 0 ? j < i ? 99, je deliteľných 1001?
  4. O funkcii f(x) vieme, že f(3x) = 3f(x) platí pre všetky reálne čísla x a navyše f(x) = 1 - |x - 2| pre 1 ? x ? 3. Nájdite najmenšie kladné reálne číslo x, pre ktoré f(x) = f(2005).
Úlohy 67. kola (5/2005)
  1. Označme S množinu vrcholov kocky s hranou dĺžky 1. Nájdite súčet obsahov všetkých trojuholníkov, ktorých vrcholy ležia v množine S.
  2. Nech x, y, z sú kladné reálne čísla, pre ktoré platí:
    xyz = 1,
    x + 1/z = 5,
    y + 1/x =29    .
    Nájdite z + 1/y.
  3. Nájdite všetky kladné celé čísla n s desatinným zápisom tvaru amam-1...a0 také, že a1a0amam-1...a20 = 2n.
  4. N študentov sedí v laviciach usporiadaných do tabuľky m x n, kde m, n > 2. Každý študent si podá ruku so všetkými susediacimi študentmi (pod susediacim sa myslí horizontálne, vertikálne, ale aj diagonálne). Zistilo sa, že spolu si podali ruky 1020-krát. Nájdite N.
Úlohy 66. kola (4/2005)
  1. Nájdite najmenšie také prirodzené číslo n, kde číslo 15n sa skladá len z cifier 0 alebo 8.
  2. V trojuholníku ABC je veľkosť uhla pri vrchole A 60° a veľkosť uhla pri vrchole B 45°. Os uhla z vrchola A pretína stranu BC v bode T, kde |AT| = 24. Nájdite obsah trojuholníka ABC.
  3. Nájdite aritmetický priemer všetkých čísel tvaru  |a1 - a2| + |a3 - a4| + |a5 - a6| + |a7 - a8| + |a9 - a10|, kde množina čísel {a1, a2,..., a10} je permutáciou množiny čísel {1, 2,..., 10}.
  4. Reálne číslo x spĺňa rovnosť [x + 0,19] + [x + 0,20] + [x + 0,21] + ... + [x + 0,91] = 546. Nájdite [100x].
Úlohy 65. kola (3/2005)
  1. Konečná množina prirodzených čísel obsahuje číslo 68 a má aritmetický priemer 56. Ak odstránime číslo 68, tak aritmetický priemer zvyšných čísel bude 55. Aké najväčšie číslo môže obsahovať táto množina?
  2. Pre štvorsten ABCD platí: |AB| = 3 cm, obsah steny ABC je 15 cm2, obsah steny ABD je 12 cm2 a uhol, ktorý zvierajú steny ABC a ABD, je 30°. Nájdite objem štvorstena ABCD.
  3. Dvaja hráči A a B hrajú niekoľkokrát za sebou takúto hru s mincou. V každej hre sa hráči striedajú pri hode mincou, na ktorej s pravdepodobnosťou 1/2 padne hlava a s pravdepodobnosťou 1/2 padne znak. Ten, komu prvému padne hlava, vyhráva. Nasledujúcu hru začína vždy hráč, ktorý prehral. Hráč A začína prvú hru. Nájdite pravdepodobnosť, s ktorou hráč A vyhrá šiestu hru.
  4. Koľkými spôsobmi môžeme zafarbiť v tabuľke 7 x 7 dve políčka na čierno a ostatné na bielo? Dve ofarbenia pokladáme za rovnaké, ak jedno dostaneme z druhého otočením tabuľky.
Úlohy 64. kola (2/2005)
  1. Koľkými spôsobmi môžeme napísať číslo n ako súčet troch kladných celých čísel, pričom dve riešenia líšiace sa poradím čísel pokladáme za rôzne.
  2. Nájdite všetky reálne riešenia rovnice |x + 1| - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = x + 2.
  3. Mäsiar má dvojramenné váhy, ktoré sú nepresné (ich ramená sú nerovnako dlhé). Mäsiar však vie, že sú nepresné a keďže je poctivý, tak váži týmto spôsobom: vezme polovicu mäsa a položí ho na jednu stranu váh a na druhú dá závažia. Potom všetko z váh odstráni a vezme druhú polovicu mäsa, položí ju na stranu, kde boli pred tým závažia a vyváži ju znova závažiami. Súčet týchto dvoch hmotností pokladá za hmotnosť celého mäsa. Zistite, či na tomto spôsobe zarába, prerába, alebo predáva za naozajstnú cenu.
  4. Vo vnútri konvexného štvoruholníka ABCD je daný bod O, ktorý je spojený s vrcholmi. Nájdite obsah štvoruholníka s vrcholmi v ťažiskách trojuholníkov ABO, BCO, CDO, ADO.
Úlohy 63. kola (1/2005)
  1. Nech r = 0,abcd je desatinné číslo, kde a, b, c, d sú cifry nie nutne nenulové. Zo všetkých aproximácii tvaru 1/n alebo 2/n, kde n je celé číslo, je pre číslo r najlepšia aproximácia 2/7. Zistite, koľko existuje rôznych čísel r vyhovujúcich podmienkam úlohy.
  2. Nájdite dĺžku strany najväčšieho rovnostranného trojuholníka, ktorý sa dá vpísať do obdĺžnika so stranami 10 a 11.
  3. Nájdite najväčšie kladné celé číslo, ktoré sa nedá napísať v tvare 42a + b, kde a, b sú kladné celé čísla a b je zložené číslo.
  4. Nech n je prirodzené číslo väčšie ako 1. Hádžeme n-krát za sebou falošnou mincou. Pravdepodobnosť toho, že padne práve raz "hlava" sa rovná pravdepodobnosti toho, že padnú práve tri "hlavy". Aká je pravdepodobnosť, že padnú práve dve "hlavy"? Pre aké čísla n má úloha riešenie?

Úlohy 62. kola (12/2004)

  1. Trojuholník ABC má strany dĺžky 425 cm, 450 cm a 510 cm. Cez jeho vnútorný bod (jeden konkrétny) vedieme priamky rovnobežné so stranami trojuholníka ABC. Na týchto troch priamkach vytnú strany trojuholníka ABC úsečky rovnakej dĺžky. Aké budú mať tieto úsečky dĺžku?
  2. Máme reťazec skladajúci sa z 15 písmen A a B. Spolu sa v ňom nachádza 14 dvojíc susediacich písmen. Dvakrát susedí A s A, trikrát A s B, štyrikrát B s A a päťkrát B s B. Koľko takýchto rôznych reťazcov existuje?
  3. Nájdite najväčšie prirodzené číslo n, pre ktoré n + 10 delí n3 + 100.
  4. Nájdite hodnotu tg(x + y), pokiaľ viete, že tg(x) + tg(y) = 25 a cotg(x) + cotg(y) = 30.

Úlohy 61. kola (11/2004)

  1. Dobro a zlo si takto delia zisk 2 000 dukátov: Dobro rozdelí obnos na dve kopy, tak aby boli aspoň 2 mince na každej z nich. Potom Zlo rozloží každú kopu na dve (neprázdne) časti a zoberie si najmenšiu a najväčšiu z daných štyroch kôpok. Zvyšné dve kôpky ostanú pre Dobro. Koľko najviac dukátov si Dobro dokáže zabezpečiť svojím prvým delením, ak predpokladáme, že Zlo je veľmi šikovné (a chamtivé), aby si vždy zobralo čo najviac?
  2. Koľko riešení v obore reálnych čísel má nasledujúci systém rovníc:
    x + y = 2
    xy - z2 = 1    ?
  3. Nájdite všetky trojciferné čísla, ktoré sa rovnajú aritmetickému priemeru šiestich trojciferných čísel, ktoré získame permutáciou cifier tohto čísla?
  4. V trojuholníku ABC je ťažnica AD kolmá na ťažnicu BE. Nájdite dĺžku AB, ak viete, že BC = 6 a AC = 8.

Úlohy 60. kola (10/2004)

  1. Nájdite ôsmy člen postupnosti 1440, 1716, 1848, ..., ktorej členy získame ako súčin zodpovedajúcich si členov dvoch aritmetických postupností.
  2. Označme N najväčší násobok čísla 8, ktorý nemá žiadne dve cifry rovnaké. Zistite, aký zvyšok dáva číslo N po delení 7.
  3. Na šachovom turnaji sa zúčastnilo osem šachistov. Hralo sa systémom každý s každým s tým, že za víťazstvo sa udeľoval 1 bod, za remízu 0,5 bodu a za prehru 0 bodov. Po skončení turnaja sa zistilo, že každý hráč získal iný počet bodov. Šachista na druhom mieste mal toľko bodov ako poslední štyria dohromady. Aký bol výsledok zápasu šachistu, ktorý skončil na treťom mieste, so šachistom, ktorý skončil predposledný?
  4. O trojuholníku vieme, že jeho dv evýšky sú aspoň také dlhé, ako zodpovedajúce strany. Nájdite uhly tohto trojuholníka.

Úlohy 59. kola (9/2004)

  1. Daný je trojuholník ABC. Bod D leží na priamke AC tak, že |AB| = |AD|. Ďalej vieme, že veľkosť uhla ABC je o 30 stupňov väčšia ako veľkosť uhla ACB. Nájdite veľkosť uhla CBD.
  2. Riešte nerovnicu 2Ax+B ? (1/16)1/x s neznámou x pre tie čísla A, B, pre ktoré má táto rovnica na intervale <-4, -1> riešenia len čísla -4 a -1.
  3. Koľko podmnožín množiny {1, 2, 3, ..., 12} neobsahuje žiadne dve po sebe idúce čísla?
  4. Ktoré z čísel (17091982!)2, 1709198217091982 je väčšie? Svoju odpoveď dokážte.
    Symbol n! = n . (n-1) . (n-2) ... 3 . 2 . 1.

Úlohy 58. kola (8/2004)

  1. Nájdite všetky štvorciferné čísla v tvare aabb, ktoré sú štvorcami celých čísel.
  2. V rovine sú dané tri body. Koľko existuje priamok, z ktorých každá má rovnakú vzdialenosť od všetkých troch bodov.
  3. Zistite koľko riešení má rovnica 100.sin x = x.
  4. Strany ostrouhlého trojuholníka sú uhlopriečkami štvorcov Š1, Š2, Š3. Dokážte, že celý trojuholník je pokrytý týmito štvorcami.